Signals and Systems

信号和系统的数字描述及其性质

信号与系统的数学描述及基本性质

信号的分类

一维、多维；
连续时间、离散时间、数字信号；

数字信号是离散时间信号的子集，数字信号的因变量取值也是离散的。
实信号与复信号；
确定信号与随机信号。

系统的分类

连续时间系统、离散时间系统、混合系统；
单输入单输出系统 (SISO) 、多输入多输出系统 (MIMO)；
一维、多维。

信号的基本运算和变换、基本系统

信号的基本运算及其实现的基本系统

信号的数乘运算和数乘器
信号的相加运算和相加器
信号的相乘运算和相乘器
信号的微分、差分
$后项差分前向差分$
信号的积分、累加

信号的取模、绝对值

自变量变换导致的信号变换

信号的反转
信号的时移
$后移$
自变量尺度比例变换
- 连续时间的时域压扩
- 离散时间的抽取器和内插零系统
  $抽取$
  
  抽取只保留整数倍时刻点的序列值，其余被丢弃。
  
  $倍内插零$
  
  内插零系统会在每相邻两个值之间插入个 0。

基本的连续时间和离散时间信号

单位阶跃信号和单位冲激信号

单位阶跃函数和单位阶跃序列
单位冲激函数和单位冲激序列
- 函数的极限形式定义
  
  设为宽度为，幅度为的矩形脉冲：
- 狄拉克函数定义
- 离散时间单位冲激序列
单位冲激函数和单位冲激序列的性质
- 具有单位面积；
- 偶信号；
- 具有筛分性质；
- 单位冲激函数是单位阶跃函数的导数、单位冲激序列是单位阶跃序列的差分。

复指数信号和与正弦信号

复指数信号有如下表现形式：

或者也可以把离散形式写成：
实指数信号
复正弦信号和正弦信号

上述称为复正弦信号，利用欧拉公式，可以化为：
单从形式上看，离散时间的复正弦信号和连续时间区别不大，实际上两者之间有几个重要的区别：
- 连续时间的正弦信号一定是周期信号，而离散时间只有当为有理数时，才是周期序列；
- 对于连续时间的正弦信号，每一个不同的都会形成一个不同周期的正弦信号，而在离散时间的情况下，所有符合角频率为的复正弦序列都是同一周期的，一般称或为的主值区间。
连续时间周期复指数信号和正弦信号还有一个重要的性质，即对于任何一个，都存在一组构成谐波关系的周期复指数信号和正弦信号，该组周期复指数信号的基本频率都是某一个正频率的整数倍：

对于离散时间，也有构成谐波关系的序列：

上述信号组都存在一个公共的周期和，称为基波周期。
一般的复指数信号

信号的时域特征和主要特征

周期性

如果信号满足：

则称为周期信号。满足如下性质：

只要给出其一个周期内的信号，就可以完全确定信号；
周期不唯一。

时域对称性

奇偶对称性和奇偶分解
- 奇偶对称性
- 奇偶分解
  
  任何信号都可以表示为其偶分量和奇分量之和：
共轭对称和实虚分解
- 若信号和是实信号，则满足：
- 若是纯虚信号：
- 任何复信号可以表示成一个实信号和一个纯虚信号的和：

信号的大小、能量和功率

信号的一阶范数

若信号模可积或可和：

若非模可积或可和：

这里表示的是信号波形几何面积在整个时域内的平均值。

信号的二阶范数，能量和平均功率

若信号模平方可积或可和：

若信号不是模平方可积或可和：

模平方可积或者模平方可和的信号的能量和模平方不可积或不可和的信号的平均功率分别为二阶范数的平方：

满足模平方可和或可积的信号为能量（受限）信号，否则为功率（受限）信号。

信号的正交和相关函数

信号的相关系数和正交信号

对于两个在区间或上定义的复能量信号或，他们的相关系数为：

相互正交的条件为：

推导：

考虑在区间上用信号来近似，用线性模型近似：

其中是系数，则近似误差：

为了使近似尽误差尽可能小，我们需要规定一个规范标准，当达到一定标准，说明误差满足要求，这里采用最小误差能量作为标准。上述误差的能量：

为了使得最小，必须使

由此求得：

带入求得最小误差能量：

令：

则可以推出：

以上定义的相关系数表征了信号之间的线性相关性，可以类比概率轮中的相关系数。

信号的相关函数和相关序列

互相关函数或序列和自相关函数或序列

若信号是能量信号：

若信号是功率信号：

对于周期信号，上述极限只需对一个周期求即可（周期信号一定是功率信号）。
相关函数的性质
- 相关函数共轭对偶：
- 能量信号和功率信号的自相关函数或自相关对列在原点的值分别为它们的最大值，且等于信号本身的能量或平均功率，即其二阶范数的平方：
  
  周期信号的相关函数是和他们本身同周期的周期函数，在周期的整数倍点取得最大值。

信号的函数空间表示法

信号的内积

定义在或上的两个信号的内积：

满足：

由此可以推导出：

且可以用内积表示相关系数和最佳近似系数：

正交条件可以改写为：

信号与矢量类比

信号，等	矢量，等
所有形同区间定义的实能量集合（信号空间）：	所有矢量的集合（集合空间）：
零信号：	零向量
两个信号相等	矢量相等
信号极性相反：	矢量方向相反
信号的线性运算：	矢量的线性运算
信号内积	矢量点积
信号正交：内积为零	矢量正交
信号二阶规范量	矢量模长
信号在信号上的投影：	矢量投影
相关系数	方向余弦
归一化的完备正交信号集	标准正交基
信号空间表示法	基向量的线性组合

正交信号空间

类比线性空间。

广义傅立叶级数展开

在信号空间中找到一组完备的正交信号集，则空间中的任意信号可表示为：

其中，组合系数：

上述为广义的傅立叶级数展开。可以推导出：

上式表明了信号的这种表示方法在能量上的等价关系。

系统的相互连接

级联；
并联；
反馈链接。

系统性质

无记忆性：输出只取决于同一时刻输入的信号值 —— 数乘、加法、乘法器；
因果性、非因果和反因果：输出只与该时刻和该时刻以前的输入 —— 积分器、累加器、后项差分、真实时间变量系统、所有无记忆系统；
稳定性：有界的输入导致有界的输出 —— 数乘器、时移系统、相加、相乘、一阶差分、反转系统、连续时间尺度变换、离散时间抽取器和内插零系统、平滑系统（积分器和累加器是不稳定的）；
可逆性与逆系统：参考函数可逆性 —— 加法、数乘、积分、累加；
时不变性： —— 数乘、时移、微分和差分器；

时不变系统的特有性质：与任意时移系统的级联次序可调换。
线性性质和增量线性系统：
- 线性：
  
  线性系统的零输入必然产生零输出。
- 增量线性：线性系统加一个常数（）

LTI 系统的时域分析和信号卷积

如果存在一类信号，LTI 系统对它们的响应为，基于时不变性，有：

再根据线性叠加性，LTI 系统对输入：

的响应可以表示为：

也就是说，LTI 系统对输入的响应可以用和输入的表示相同的一组组合系数线性表示。

用时移单位冲激的线性组合表示信号

LTI 系统的卷积关系

卷积和与卷积积分

设系统的单位冲激响应为或：

推导

考虑用时移单位冲激序列来表示输入：

即为单位冲激序列的线性组合，其中为组合系数。利用时不变性和线性叠加性，系统对输入的响应可以表示为：

将其定义为卷积。

连续时间的卷积推导考虑冲激函数的极限定义，设为宽为高为的矩形脉冲，将输入离散化表示为：

系统的输出为：

卷积积分和卷积和的计算

图解法

例题待补充……
解析法

例题待补充……
矢量法

例题待补充……

卷积运算的收敛性

如果参与运算的两个信号或序列是模可积或模可和的，则卷积一定收敛；
如果参与运算的两个信号中有一个是有界的而另一个是模可积或可和的，则卷积一定收敛；
对于周期函数，只要输入信号分别在每一个周期内的积分或求和是有限的，即使他们不是有界信号，其卷积也收敛。

卷积的性质及其在 LTI 系统分析中的作用

卷积的代数运算规则

交换律；
结合率；
分配律；
若干个 LTI 系统的级联仍是一个 LTI 系统，总系统的单位冲激应该等于级联的所有 LTI 系统单位冲激响应的逐次卷积；
任意改变 LTI 系统级联的先后次序是无关紧要的，换言之，对于级联的系统，可依任意顺序卷积。

涉及单位冲激的卷积和卷积运算的时移性质

涉及单位冲激的卷积

回顾用时移单位冲激描述信号：

将该形式与卷积对应，可以发现：
卷积的时移性质

若有：

则有：

卷积的微分或差分与积分或累加

卷积积分的微分和卷积和的差分
卷积积分的积分和卷积和的累加

卷积运算与相关函数之间的关系

回忆相关函数的定义：

做变量代换：

同理：

自相关函数：

周期函数和序列的周期卷积

周期卷积积分与周期卷积和

结果仍是一个具有相同周期的周期信号。

周期卷积运算的性质

交换律；
结合率；
分配律；
时移性质；
微分、差分性质；
只有两个周期信号在其一个周期内的积分及求和都等于 0 时，积分和累加性质才成立；

线性时变系统和时变卷积

对于线性时变系统，由于不满足时不变性质，因此系统对时移单位冲激信号的响应不再是单位冲激响应的简单时移：

LTI 系统：

线性时变系统：

因此用上述的二元函数的形式表达。

LTI 系统的特性与单位冲激响应之间的关系

LTI 系统的单位冲激响应

对于 LTI 系统，其单位冲激响应和系统存在一一对应的关系。
LTI 系统连续时间单位冲激响应离散时间单位冲激响应

恒等系统

数乘系统

时移系统

微分或一阶差分器

积分或累加器

单位冲激响应表征的 LTI 系统的性质

线性时不变性：如果一个系统对信号的输入可以表示为输入信号与另一个信号的卷积：

则该系统一定是线性时不变系统，同时满足线性行和时不变性，其中信号就是该系统的单位冲激响应；
记忆性和无记忆型：满足或；
因果性、非因果和反因果性：满足或；
稳定性：满足或；
可逆性：满足或；

系统互联的单位冲激响应

LTI 系统的级联和并联
- 级联后的单位冲激响应：
- 并联后的单位冲激响应：
LTI 系统的反馈互联

无法写成显式表达。

LTI 系统的单位阶跃响应

用单位阶跃响应分析 LTI 系统

类比单位冲激响应，也可以用时移函数来线性表示信号：

上式被称为杜哈米尔积分，可利用阶跃响应和冲激响应的关系导出：

若系统的单位阶跃响应为，则：

同理可以导出离散时间的对偶。

LTI 系统的单位阶跃响应

LTI 系统	连续时间单位阶跃响应	离散时间单位阶跃响应
数乘系统
时移系统
微分器或一阶差分器
积分器或累加器

LTI 系统的单位阶跃响应与单位冲激响应之间有一定的关系：

说明连续时间和离散时间 LTI 系统的单位冲激响应分别是各自单位阶跃响应的微分和差分。

用微分方程或差分方程描述的系统

递归系统和非递归系统的级联

对于用微分或差分方程描述的系统，其数学表示为：

若令：

则可以将整个系统看成上面系统和下面系统的级联：

输入为或者经过一个非递归系统产生或，再经过一个递归系统产生输出或。

可以写出非递归系统的单位冲激响应：

微分方程和差分方程的解法

常系数微分方程的解

根据上一节的分析，我们主要需要考虑的就是下面这样的微分方程的解：

微分方程的解：齐次解和特解

根据线性代数理论，非齐次线性方程组的解空间是其次线性方程组解空间的一个平移，表现为齐次解和特解的求和形式。
- 特解
  
  上面的微分方程的特解与输入信号的形式有关：
  
  输入信号相应的特解
  
  常数常数
  
  为根重数
  
  为根重数
  
  其中常数可由的特殊值解得。
- 齐次解
  
  齐次解由如下特征方程的个特征根决定：
  
  解上述方程导出齐次解的一般形式：
  $个互不相同的单根个重根$
  其中的常数需要加上特解后才能确定。
- 完全解
  
  求出齐次解和特解之后方程的完全解为：
  
  带入个边界条件，便可解出待定常数。
例题

已知某连续时间系统的微分方程为

并且一直输入，附加条件为，试求系统输出。

解：

首先写出特征方程：

解得，可以写出齐次解：

再根据输入确定特解。首先解出：

可以判断出输入，因此特解为：

将特解带入原方程：

目前不足以解出，继续往下求完全解：

带入边界条件：

解得：

带入得到最终输出：

常系数差分方程的解

类比微分方程，差分方程描述的系统求解主要是解如下差分方程：

差分方程的解：齐次解和特解

类比微分方程，差分方程的完全解也是其次解和特解的合成。
- 特解
  
  输入序列对应的特解
  
  常数序列常数序列
  
  为重数
  
  为重数
- 齐次解
  
  对应下面方程的解：
  
  其解对应如下特征方程的解：
  
  得到如下齐次解的形式：
  $个互不相同的单根个重根$
  确定系数需要和特解结合。
例题
某个离散时间系统的差分方程表示为

给定的附加条件为：。求两种输入时的输出：。
解：

首先写出方程的特征方程：

解得，故齐次解为：

解下来根据输入求特解：
- 输入为时：
  
  带入原方程，得出：
  
  从而得到原方程的完全解：
  
  带入初值条件：
  
  由于没有时的边值条件，还有一个方程要利用递推方法得出。
- 输入为时：
  
  带入原方程：
  
  得出方程的完全解为：
  
  带入初值条件：
  
  推出完全解：

线性常系数差分方程的递推算法

将方程：

改写为：

前者为后推表达式，后者为前推表达式，利用已知的输入和输出递推。

继续解上面的例题：

将原方程写成前推表达式：

当输入为时，，由此继续递推：

将这两个结果带入之前算出来的完全解：

从而得出当输入为时，方程的完全解为：

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LTI 系统	连续时间单位冲激响应	离散时间单位冲激响应
恒等系统
数乘系统
时移系统
微分或一阶差分器
积分或累加器

输入信号	相应的特解
常数	常数


为根重数

为根重数

输入序列	对应的特解
常数序列	常数序列


为重数

为重数